Номер 164, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. На рисунке 128 прямая $AC$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$. Найдите $\angle BAC$, если $\angle AOB = 108^\circ$.

Рис. 128

164. На рисунке 128 прямая AC касается окружности с центром O в точке A. Найдите $\angle BAC$, если $\angle AOB = 108^\circ$.

Рис. 128

Рассмотрим треугольник $ΔAOB$. Так как отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, то их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что треугольник $ΔAOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $∠OAB = ∠OBA$. Сумма углов любого треугольника составляет $180°$. Применительно к треугольнику $ΔAOB$ это записывается как:

$∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°$

Используя равенство углов при основании и известное из условия значение центрального угла $∠AOB = 108°$, получаем уравнение:

$2 \cdot ∠OAB + 108° = 180°$

Решим это уравнение относительно $∠OAB$:

$2 \cdot ∠OAB = 180° - 108°$

$2 \cdot ∠OAB = 72°$

$∠OAB = \frac{72°}{2} = 36°$

Прямая $AC$ является касательной к окружности в точке $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В данном случае радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AC$. Следовательно, угол между ними равен $90°$:

$∠OAC = 90°$

Из рисунка видно, что угол $∠OAC$ состоит из двух углов: $∠OAB$ и искомого угла $∠BAC$. Таким образом, мы можем записать:

$∠OAC = ∠OAB + ∠BAC$

Подставим известные значения углов в это равенство:

$90° = 36° + ∠BAC$

Теперь выразим и найдем $∠BAC$:

$∠BAC = 90° - 36° = 54°$

Ответ: $54°$