Номер 168, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Точка пересечения высот $DH$ и $EK$ треугольника $DEF$ является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

168. Точка пересечения высот $DH$ и $EK$ треугольника $DEF$ является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

Пусть O — точка пересечения высот DH и EK. По определению, O является ортоцентром треугольника DEF. По условию задачи, эта же точка O является центром описанной около треугольника DEF окружности, то есть циркумцентром.

Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника. Циркумцентр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Рассмотрим сторону EF. Высота DH, проведенная из вершины D, по определению перпендикулярна стороне EF ($DH \perp EF$). Серединный перпендикуляр к стороне EF также перпендикулярен EF.

Поскольку точка O является и ортоцентром, и циркумцентром, она должна лежать как на высоте DH, так и на серединном перпендикуляре к стороне EF. Прямая, содержащая высоту DH, и прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к EF, обе перпендикулярны одной и той же прямой EF. Так как они проходят через общую точку O, эти прямые совпадают.

Следовательно, высота DH является одновременно и серединным перпендикуляром к стороне EF. Это означает, что DH является и высотой, и медианой в треугольнике DEF. Треугольник, в котором высота, проведенная из вершины, совпадает с медианой, является равнобедренным. Значит, треугольник DEF равнобедренный, и $DE = DF$.

Аналогично рассмотрим сторону DF. Высота EK, проведенная из вершины E, перпендикулярна стороне DF ($EK \perp DF$). Серединный перпендикуляр к стороне DF также перпендикулярен DF.

Поскольку точка O лежит и на высоте EK, и на серединном перпендикуляре к DF, эти две прямые (будучи перпендикулярными одной и той же прямой DF и проходя через общую точку O) совпадают.

Следовательно, высота EK является и медианой к стороне DF. Это означает, что треугольник DEF является равнобедренным относительно вершины E, и $DE = EF$.

Из полученных равенств $DE = DF$ и $DE = EF$ следует, что все три стороны треугольника равны: $DE = DF = EF$.

Таким образом, треугольник DEF является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник DEF равносторонний.