Номер 169, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. На серединном перпендикуляре стороны $AC$ треугольника $ABC$ отмечена такая точка $O$, что $OC = OB$. Докажите, что точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

169. На серединном перпендикуляре стороны $AC$ треугольника $ABC$ отмечена такая точка $O$, что $OC = OB$. Докажите, что точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

По определению, центром окружности, описанной около треугольника, является точка, равноудаленная от всех его вершин. Чтобы доказать, что точка $O$ является центром описанной окружности для треугольника $ABC$, необходимо установить, что расстояния от точки $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны, то есть $OA = OB = OC$.

Рассмотрим данные из условия задачи.

1. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, расстояние от точки $O$ до вершины $A$ равно расстоянию до вершины $C$. Это дает нам равенство: $OA = OC$.

2. По условию задачи нам также дано равенство: $OC = OB$.

Объединяя эти два равенства ($OA = OC$ и $OC = OB$), мы получаем, что все три отрезка равны между собой: $OA = OB = OC$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $ABC$, она по определению является центром окружности, описанной около этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника ($OA = OB = OC$), она является центром описанной около него окружности.