Номер 176, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол $30^\circ$. Сколько решений имеет задача?

176. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол $30^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Для построения воспользуемся свойством, что угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке O и прямая $a$. Алгоритм построения следующий:

1. Провести через центр окружности O прямую $n$, перпендикулярную данной прямой $a$.
2. Поскольку искомая касательная $t$ должна образовывать с прямой $a$ угол $30^\circ$, то радиус $OT$, проведенный в точку касания $T$ (и перпендикулярный касательной $t$), должен образовывать с прямой $n$ (перпендикулярной прямой $a$) угол также в $30^\circ$.
3. Построить две прямые $r_1$ и $r_2$, проходящие через центр O и образующие с прямой $n$ угол $30^\circ$.
4. Найти точки пересечения прямых $r_1$ и $r_2$ с окружностью. Таких точек будет четыре: $T_1, T_2, T_3, T_4$.
5. В каждой из этих четырех точек провести прямую, перпендикулярную соответствующему радиусу. Эти четыре прямые и являются искомыми касательными.

Ответ: построение производится по шагам, описанным выше.

Проанализируем количество решений, которое дает предложенный алгоритм. Данный алгоритм построения всегда выполним, независимо от взаимного расположения окружности и прямой.

• Построение перпендикуляра $n$ к прямой $a$ через точку O всегда возможно и результат единственен.
• Построение двух прямых ($r_1$ и $r_2$), образующих с $n$ угол $30^\circ$, всегда возможно и дает ровно две прямые.
• Каждая из этих прямых, проходя через центр, пересекает окружность в двух точках. Всего получаем 4 различные точки касания.
• В каждой точке на окружности можно провести ровно одну касательную.

Таким образом, существует ровно 4 прямые, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 4.