Номер 178, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к боковой стороне и углу, который эта высота образует с основанием.

178. Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к боковой стороне и углу, который эта высота образует с основанием.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$ построен. Пусть $AH$ — высота, проведённая к боковой стороне $BC$, и её длина равна заданному отрезку $h$. Пусть угол, который эта высота образует с основанием $AC$, равен заданному углу $\alpha$, то есть $\angle HAC = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нём $\angle AHC = 90^\circ$, так как $AH$ — высота. Нам известны катет $AH = h$ и прилежащий к нему острый угол $\angle HAC = \alpha$. По катету и прилежащему острому углу прямоугольный треугольник можно построить однозначно. Таким образом, мы можем построить $\triangle AHC$.

После построения $\triangle AHC$ у нас будут определены вершины $A$ и $C$ искомого треугольника, а также его основание $AC$. В этом же треугольнике мы можем определить угол $\angle C$: $\angle C = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - \alpha$.

Поскольку $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = \angle C = 90^\circ - \alpha$.

Теперь задача сводится к построению треугольника $ABC$ по известной стороне $AC$ и двум прилежащим к ней равным углам. Это стандартная задача на построение, что доказывает возможность решения.

Построение

Пусть дан отрезок длины $h$ и угол $\alpha$.

1. Построим прямоугольный треугольник $AHC$.
а) Проведём произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $H$.
б) Восстановим перпендикуляр к прямой $l$ в точке $H$. На этом перпендикуляре отложим отрезок $HA$ длиной $h$.
в) От луча $HA$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$, так, чтобы вторая сторона угла пересекла прямую $l$. Точку пересечения обозначим $C$. В результате получим прямоугольный $\triangle AHC$.

2. Построим искомый равнобедренный треугольник $ABC$.
а) Вершины $A$ и $C$ уже построены. Отрезок $AC$ является основанием.
б) Угол $\angle BCA$ ($\angle HCA$) также уже построен.
в) С помощью циркуля и линейки построим угол $\angle CAB$, равный углу $\angle BCA$, отложив его от луча $AC$ в ту же полуплоскость относительно прямой $AC$, в которой лежит точка $H$.
г) Продлим луч, являющийся второй стороной построенного угла $\angle CAB$, до пересечения с прямой $l$. Точку пересечения обозначим $B$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный $\triangle ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
1. По построению, $AH \perp BC$, так как прямая $l$ содержит сторону $BC$. Следовательно, $AH$ — высота, проведённая к боковой стороне. Её длина $AH = h$ по построению.
2. Угол между высотой $AH$ и основанием $AC$ равен $\alpha$ по построению ($\angle HAC = \alpha$).
3. В треугольнике $ABC$ углы при стороне $AC$ равны по построению: $\angle BAC = \angle BCA$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

Все условия задачи выполнены, значит, построенный треугольник является искомым.

Исследование

Задача имеет решение, если описанные построения выполнимы.
Построение $\triangle AHC$ возможно, если луч, построенный в пункте 1(в), пересечет прямую $l$. Это произойдет тогда и только тогда, когда угол $\alpha$ является острым, то есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Углы построенного треугольника $ABC$ будут равны: $\angle A = \angle C = 90^\circ - \alpha$ и $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) = 2\alpha$.
Для существования треугольника необходимо, чтобы все его углы были положительными. $\angle A = \angle C > 0 \implies 90^\circ - \alpha > 0 \implies \alpha < 90^\circ$.
$\angle B > 0 \implies 2\alpha > 0 \implies \alpha > 0$.
Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при условии $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Ответ: План построения и доказательство его верности приведены выше.