Номер 185, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Постройте прямоугольный треугольник по разности катетов и углу, противолежащему меньшему из них.

185. Постройте прямоугольный треугольник по разности катетов и углу, противолежащему меньшему из них.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник – это $\triangle ABC$ с прямым углом $C$. Обозначим его катеты как $AC = b$ и $BC = a$. По условию задачи, $b > a$, и нам даны разность катетов $d = b - a$ и угол $\alpha = \angle A$, который противолежит меньшему катету $a$.

На большем катете $AC$ отложим от вершины $C$ отрезок $CD$, равный по длине меньшему катету $a$. Тогда точка $D$ окажется на отрезке $AC$, и длина отрезка $AD$ будет равна $AC - CD = b - a = d$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$, и равнобедренным, так как по построению $BC = CD = a$. Следовательно, углы при его основании $BD$ равны: $\angle CBD = \angle CDB = 45^\circ$.

Угол $\angle ADB$ и угол $\angle CDB$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle ADB = 180^\circ - \angle CDB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известна сторона $AD = d$, прилежащий к ней угол $\angle DAB = \alpha$ и другой прилежащий угол $\angle ADB = 135^\circ$. Такой треугольник можно построить по стороне и двум прилежащим к ней углам. После построения $\triangle ABD$ вершину $C$ можно найти, опустив перпендикуляр из точки $B$ на прямую, содержащую отрезок $AD$.

Построение

1. На произвольной прямой строим отрезок $AD$, длина которого равна данной разности катетов $d$.

2. От луча $AD$ строим угол $\angle DAK$, равный данному углу $\alpha$.

3. От луча $DA$ (в ту же полуплоскость относительно прямой $AD$, где и луч $AK$) строим угол $\angle ADM = 135^\circ$.

4. Точка $B$ находится на пересечении лучей $AK$ и $DM$.

5. Из точки $B$ опускаем перпендикуляр $BC$ на прямую $AD$.

6. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Построенный $\triangle ABC$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ по построению. Также по построению $\angle A = \alpha$. Проверим, равна ли разность его катетов заданной величине $d$.

Рассмотрим $\triangle BCD$. Он прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$). Угол $\angle BDC$ смежен с углом $\angle ADB$. Так как по построению $\angle ADB = 135^\circ$, то $\angle BDC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\angle CBD = 90^\circ - \angle BDC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как $\angle CBD = \angle BDC$, треугольник $BCD$ является равнобедренным, и, следовательно, $BC = CD$.

Из построения следует, что точка $D$ лежит между точками $A$ и $C$, поэтому $AC = AD + DC$.

Найдем разность катетов: $AC - BC = (AD + DC) - BC$. Так как $DC = BC$, получаем $AC - BC = (AD + BC) - BC = AD$.

По построению $AD=d$, значит, $AC - BC = d$.

Так как $d > 0$, то $AC > BC$, то есть катет $BC$ является меньшим, и угол $\alpha$ лежит напротив него, что соответствует условию задачи. Таким образом, построенный $\triangle ABC$ является искомым.

Исследование

Основой построения является нахождение вершины $B$ как точки пересечения двух лучей. Такое построение возможно и дает единственную точку $B$, если существует треугольник $ABD$ с заданными элементами: стороной $AD=d$ и прилежащими углами $\angle A = \alpha$ и $\angle D = 135^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle B$ должен быть равен: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - (\alpha + 135^\circ) = 45^\circ - \alpha$.

Для существования треугольника необходимо, чтобы все его углы были положительными. Угол $\alpha$ должен быть больше нуля. Угол $135^\circ$ положителен. Требуется, чтобы и угол $\angle B = 45^\circ - \alpha$ был положительным. Это условие $45^\circ - \alpha > 0$ равносильно условию $\alpha < 45^\circ$.

Следовательно, задача имеет решение тогда и только тогда, когда $0 < \alpha < 45^\circ$.

Это ограничение также вытекает из условия задачи. Если в прямоугольном треугольнике $\alpha$ — это угол, противолежащий меньшему катету $a$, а $\beta$ — угол, противолежащий большему катету $b$, то $a < b$ влечет за собой $\alpha < \beta$. Так как $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\alpha < 90^\circ - \alpha$, что приводит к неравенству $2\alpha < 90^\circ$, или $\alpha < 45^\circ$.

Таким образом, если дан угол $\alpha \ge 45^\circ$, то он не может быть противолежащим меньшему катету, и условия задачи становятся противоречивыми.

Вывод:

• Если $0 < \alpha < 45^\circ$, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $\alpha \ge 45^\circ$, задача не имеет решений.

Ответ: Задача имеет единственное решение при $0 < \alpha < 45^\circ$ и не имеет решений при $\alpha \ge 45^\circ$.