Номер 184, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Прямая $a$ пересекает стороны угла $DEF$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии $1,5$ см от прямой $a$. Сколько решений может иметь задача?

184. Прямая $a$ пересекает стороны угла $DEF$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии $1{,}5 \text{ см}$ от прямой $a$. Сколько решений может иметь задача?

Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 1,5 см от прямой а.

Для построения искомой точки используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Точка должна удовлетворять двум условиям:

1. Точка равноудалена от сторон угла $DEF$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, является биссектриса данного угла. Обозначим ее как луч $l$.
2. Точка находится на расстоянии 1,5 см от прямой $a$. ГМТ, удовлетворяющих этому условию, являются две прямые, $b_1$ и $b_2$, параллельные прямой $a$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии 1,5 см.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения луча $l$ с прямыми $b_1$ и $b_2$.

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля и линейки построить луч $l$ — биссектрису угла $DEF$.
2. Построить две прямые, $b_1$ и $b_2$, параллельные прямой $a$ и отстоящие от нее на 1,5 см. Для этого можно в двух точках прямой $a$ восставить перпендикуляры и отложить на них отрезки длиной 1,5 см в обе стороны. Затем через концы этих отрезков провести прямые, параллельные $a$.
3. Отметить точки пересечения луча $l$ с прямыми $b_1$ и $b_2$. Эти точки и будут искомыми.

Ответ: Построение искомой точки заключается в нахождении пересечения биссектрисы угла $DEF$ и пары прямых, параллельных прямой $a$ и отстоящих от неё на 1,5 см.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно количеству точек пересечения луча-биссектрисы $l$ с парой параллельных прямых $b_1$ и $b_2$. В зависимости от взаимного расположения прямой $a$ и угла $DEF$ (в частности, его вершины $E$ и биссектрисы $l$) возможны следующие случаи:

• 0 решений: если луч $l$ не пересекает ни одну из прямых $b_1$ и $b_2$. Это произойдет, если луч $l$ параллелен прямой $a$ (и расстояние до нее не равно 1,5 см) или если вершина угла $E$ находится вне полосы, образованной прямыми $b_1$ и $b_2$, а луч $l$ направлен в сторону от этой полосы.
• 1 решение: если луч $l$ пересекает ровно одну из прямых $b_1$ и $b_2$. Это произойдет, если вершина угла $E$ лежит строго между прямыми $b_1$ и $b_2$ (и луч $l$ не параллелен им), или если вершина $E$ лежит на одной из прямых $b_1$ или $b_2$, а луч $l$ направлен во внешнюю сторону от полосы.
• 2 решения: если луч $l$ пересекает обе прямые $b_1$ и $b_2$. Это произойдет, если вершина угла $E$ находится вне полосы между $b_1$ и $b_2$, а луч $l$ направлен внутрь полосы, или если вершина $E$ лежит на одной из прямых, а луч направлен внутрь полосы.
• Бесконечно много решений: это вырожденный случай, когда луч $l$ целиком лежит на одной из прямых $b_1$ или $b_2$. Это происходит, когда биссектриса угла $l$ параллельна прямой $a$ и расстояние от нее до прямой $a$ составляет ровно 1,5 см.

Ответ: В зависимости от взаимного расположения угла и прямой задача может иметь 0, 1, 2 или бесконечно много решений.