Номер 180, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Постройте равносторонний треугольник по отрезку, соединяющему середины двух его сторон.

180. Постройте равносторонний треугольник по отрезку, соединяющему середины двух его сторон.

Пусть дан отрезок $MN$. Требуется построить равносторонний треугольник $ABC$ такой, что точки $M$ и $N$ являются серединами двух его сторон, например, $AB$ и $BC$ соответственно.

Анализ

Предположим, что искомый равносторонний треугольник $ABC$ построен. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BC$.

1. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.
2. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
3. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны ($AB = BC = AC$), и все углы равны $60^\circ$.
4. Из этого следует, что длина каждой стороны треугольника $ABC$ вдвое больше длины отрезка $MN$: $AB = BC = AC = 2 \cdot MN$.
5. Рассмотрим треугольник $MBN$. Точка $M$ — середина $AB$, поэтому $MB = \frac{1}{2}AB$. Точка $N$ — середина $BC$, поэтому $BN = \frac{1}{2}BC$.
6. Так как $AB = BC$, то $MB = BN$. Следовательно, треугольник $MBN$ — равнобедренный.
7. Угол $\angle MBN$ совпадает с углом $\angle ABC$ и равен $60^\circ$.
8. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Таким образом, треугольник $MBN$ — равносторонний, и все его стороны равны: $MB = BN = MN$.

Из анализа следует, что для построения искомого треугольника $ABC$ необходимо сначала построить равносторонний треугольник $MBN$ на данном отрезке $MN$. Вершина $B$ этого треугольника будет также вершиной искомого треугольника $ABC$. Затем, зная, что $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, можно найти вершины $A$ и $C$, удвоив отрезки $BM$ и $BN$.

Построение

1. На данном отрезке $MN$ строим равносторонний треугольник $MBN$. Для этого проводим две дуги окружностей с центрами в точках $M$ и $N$ и радиусом, равным длине отрезка $MN$. Точку их пересечения обозначаем $B$.
2. Проводим луч $BM$. На этом луче от точки $M$ откладываем отрезок $MA$, равный $MB$ (а значит, и $MN$), так, чтобы точка $M$ лежала между $A$ и $B$. Точка $A$ — одна из вершин искомого треугольника.
3. Аналогично проводим луч $BN$. На этом луче от точки $N$ откладываем отрезок $NC$, равный $NB$ (а значит, и $MN$), так, чтобы точка $N$ лежала между $B$ и $C$. Точка $C$ — третья вершина искомого треугольника.
4. Соединяем точки $A$ и $C$ отрезком.

Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

1. По построению, треугольник $MBN$ — равносторонний, следовательно, $MB = BN = MN$ и $\angle MBN = 60^\circ$.
2. По построению, $M$ — середина отрезка $AB$, так как $AM = MB$ и точки $A, M, B$ лежат на одной прямой. Значит, $AB = 2 \cdot MB$.
3. По построению, $N$ — середина отрезка $BC$, так как $NC = NB$ и точки $B, N, C$ лежат на одной прямой. Значит, $BC = 2 \cdot BN$.
4. Так как $MB = BN$, то $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.
5. Угол при вершине этого равнобедренного треугольника $\angle ABC$ совпадает с углом $\angle MBN$, который равен $60^\circ$.
6. Равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $60^\circ$, является равносторонним.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равносторонним, а отрезок $MN$ соединяет середины двух его сторон, что и требовалось.

Ответ: Построение выполнено. Алгоритм и доказательство корректности приведены выше.