Номер 173, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $AMK$ равен 14 см и $AB = AC = 10$ см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $AMK$ равен 14 см и $AB = AC = 10$ см.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = AC = 10$ см. В треугольник вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$ и $AC$ как $D$ и $E$, а точку касания прямой $MK$ с окружностью как $T$.

Периметр треугольника $AMK$ определяется по формуле:

$P_{AMK} = AM + AK + MK$

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Применительно к нашему случаю это означает:

• Для точки $M$: $MD = MT$
• Для точки $K$: $KE = KT$

Сторону $MK$ можно представить как сумму отрезков $MT$ и $KT$. Используя приведенные выше равенства, получаем:

$MK = MT + KT = MD + KE$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра треугольника $AMK$:

$P_{AMK} = AM + AK + (MD + KE)$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{AMK} = (AM + MD) + (AK + KE)$

Так как точка $M$ лежит на отрезке $AD$, а точка $K$ — на отрезке $AE$, то $AM + MD = AD$ и $AK + KE = AE$. Следовательно:

$P_{AMK} = AD + AE$

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, то отрезки касательных, проведенных из вершины $A$ к вписанной окружности, равны: $AD = AE$.

Таким образом, периметр треугольника $AMK$ можно выразить как:

$P_{AMK} = AD + AD = 2 \cdot AD$

По условию задачи, $P_{AMK} = 14$ см. Найдем длину отрезка $AD$:

$2 \cdot AD = 14$

$AD = \frac{14}{2} = 7$ см.

Зная длину стороны $AB = 10$ см, мы можем найти длину отрезка $BD$:

$BD = AB - AD = 10 - 7 = 3$ см.

Обозначим точку касания вписанной окружности со стороной $BC$ как $F$. По свойству касательных, проведенных из вершин $B$ и $C$:

$BF = BD = 3$ см.

$CF = CE$

Так как $AC = 10$ см и $AE = AD = 7$ см, то $CE = AC - AE = 10 - 7 = 3$ см.

Следовательно, $CF = 3$ см.

Теперь мы можем найти длину основания $BC$:

$BC = BF + CF = 3 + 3 = 6$ см.

Наконец, вычислим периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + AC + BC = 10 + 10 + 6 = 26$ см.

Ответ: 26 см.