Номер 179, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по отрезку, соединяющему середины его катетов.

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по отрезку, соединяющему середины его катетов.

Пусть дан отрезок $MN$, соединяющий середины катетов искомого равнобедренного прямоугольного треугольника.

Анализ

Пусть $ABC$ — искомый равнобедренный прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$ и катеты $AC = BC$. Пусть $M$ — середина катета $AC$, а $N$ — середина катета $BC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $MCN$. Так как $M$ и $N$ — середины равных сторон $AC$ и $BC$, то отрезки $MC = \frac{1}{2}AC$ и $NC = \frac{1}{2}BC$ равны между собой. Угол $\angle MCN$ совпадает с прямым углом $\angle ACB$. Следовательно, треугольник $MCN$ также является равнобедренным прямоугольным, а данный отрезок $MN$ — его гипотенуза.

Таким образом, задача сводится к построению равнобедренного прямоугольного треугольника $MCN$ по его гипотенузе $MN$, а затем к достроению его до треугольника $ABC$. Вершина прямого угла $C$ равноудалена от точек $M$ и $N$ и находится на окружности, построенной на $MN$ как на диаметре. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $MN$ и этой окружности.

Построение

1. Построим серединный перпендикуляр к данному отрезку $MN$. Для этого из точек $M$ и $N$ как из центров проведем две дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины $MN$). Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром к $MN$. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с отрезком $MN$ как $O$.

2. С центром в точке $O$ построим окружность радиусом $OM$.

3. Серединный перпендикуляр пересечет окружность в двух точках. Выберем одну из них и обозначим ее буквой $C$.

4. Соединим точку $C$ с точками $M$ и $N$. Полученный треугольник $MCN$ является равнобедренным прямоугольным.

5. Проведем луч из точки $C$ через точку $M$. На этом луче отложим от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $MC$.

6. Проведем луч из точки $C$ через точку $N$. На этом луче отложим от точки $N$ отрезок $NB$, равный отрезку $NC$.

7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

По построению, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $MN$, следовательно, $CM = CN$. Также точка $C$ лежит на окружности с диаметром $MN$, следовательно, вписанный угол $\angle MCN$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Таким образом, $\triangle MCN$ — равнобедренный прямоугольный.

По построению, $M$ является серединой отрезка $AC$ (так как $AM = MC$), а $N$ — серединой отрезка $BC$ (так как $BN = NC$).

Поскольку $CM = CN$, то и целые катеты равны: $AC = 2 \cdot CM = 2 \cdot CN = BC$.

Угол $\angle ACB$ совпадает с углом $\angle MCN$, следовательно $\angle ACB = 90^\circ$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным, и $MN$ — это отрезок, соединяющий середины его катетов. Построение выполнено верно.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный согласно приведенному алгоритму, является искомым равнобедренным прямоугольным треугольником.