Номер 172, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 30 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см

и 10 см. Найдите радиус окружности, если периметр

треугольника равен 30 см.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 3 см и 10 см. Длина гипотенузы равна сумме длин этих отрезков:
$c = 3 + 10 = 13$ см.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точки касания равны. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике отрезки катетов от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности. Отрезки катетов от вершин острых углов до точек касания будут равны отрезкам гипотенузы, прилежащим к тем же вершинам (3 см и 10 см).
Следовательно, длины катетов можно выразить через радиус $r$ как:
$a = 10 + r$
$b = 3 + r$

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$. По условию, периметр равен 30 см. Подставим выражения для сторон в формулу периметра:
$P = (10 + r) + (3 + r) + 13$
$30 = 26 + 2r$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $r$:
$2r = 30 - 26$
$2r = 4$
$r = \frac{4}{2}$
$r = 2$

Ответ: 2 см.