Номер 174, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $D$. Найдите сторону $BC$, если $AD = 3$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен $22$ см.

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $D$. Найдите сторону $BC$, если $AD=3$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен 22 см.

Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:

• $AD = AF$ (касательные из вершины $A$)
• $BD = BE$ (касательные из вершины $B$)
• $CE = CF$ (касательные из вершины $C$)

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) определяется как сумма длин его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Каждая сторона треугольника состоит из двух отрезков, на которые ее делит точка касания:

$P_{ABC} = (AD + DB) + (BE + EC) + (CF + FA)$

Используя ранее упомянутое свойство равенства отрезков касательных, мы можем переписать формулу периметра, сгруппировав равные отрезки:

$P_{ABC} = (AD + AF) + (BD + BE) + (CE + CF)$

Заменяя $AF$ на $AD$, $BE$ на $BD$ и $CF$ на $CE$, получаем:

$P_{ABC} = 2AD + 2BD + 2CE$

По условию задачи известно, что $AD = 3$ см и $P_{ABC} = 22$ см. Подставим эти значения в выражение для периметра:

$22 = 2 \cdot 3 + 2BD + 2CE$

$22 = 6 + 2(BD + CE)$

Теперь решим это уравнение относительно суммы $(BD + CE)$:

$2(BD + CE) = 22 - 6$

$2(BD + CE) = 16$

$BD + CE = \frac{16}{2} = 8$ см.

Так как $BD = BE$, мы можем заменить $BD$ на $BE$ в последнем выражении:

$BE + CE = 8$ см.

Сторона $BC$ как раз и состоит из суммы отрезков $BE$ и $CE$:

$BC = BE + CE$

Следовательно, длина стороны $BC$ составляет 8 см.

Ответ: 8 см.