Номер 181, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Задачи на построение. Вариант 2. Упражнения - номер 181, страница 51.

Учебник 2017.

181. Постройте треугольник $ABC$ по его биссектрисе $AD$, углу $\angle BAC$ и углу $\angle ADC$.

Учебник 2021.

181. Постройте треугольник $ABC$ по его биссектрисе $AD$, углу $BAC$ и углу $ADC$.

Решение.

Решение 2 (2021).

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по трем элементам: длине биссектрисы $AD$, углу при вершине $A$ ($\angle BAC$) и углу $\angle ADC$. Решение задачи включает в себя анализ, описание шагов построения, доказательство корректности и исследование условий, при которых задача имеет решение.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, точка $D$ лежит на стороне $BC$. По условию нам даны длина отрезка $AD$, величина угла $\angle BAC = \alpha$ и величина угла $\angle ADC = \delta$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, она делит его на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике нам известны:

1. Длина стороны $AD$.
2. Величина угла $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.
3. Величина угла $\angle ADC = \delta$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ADC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. После того как треугольник $ADC$ будет построен, мы будем знать положение вершин $A$ и $C$, а также точки $D$. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой, проходящей через точки $C$ и $D$.
2. Она лежит на луче, выходящем из точки $A$ так, что $\angle DAB = \frac{\alpha}{2}$, и этот луч находится в другой полуплоскости относительно прямой $AD$, чем луч $AC$.

Точка $B$ является точкой пересечения этих прямой и луча. На этом и основан план построения.

Построение

1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$, и проведем его биссектрису с помощью циркуля и линейки, чтобы получить угол, равный $\frac{\alpha}{2}$.
2. На произвольной прямой отложим отрезок $AD$, равный данной длине биссектрисы.
3. От луча $AD$ отложим угол $\angle DAC$, равный построенному углу $\frac{\alpha}{2}$. Получим луч $l_1$.
4. От луча $DA$ в ту же полуплоскость отложим угол $\angle ADC$, равный данному углу $\delta$. Получим луч $l_2$.
5. Точка пересечения лучей $l_1$ и $l_2$ является вершиной $C$. Таким образом, треугольник $ADC$ построен.
6. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.
7. От луча $AD$ в полуплоскость, не содержащую точку $C$, отложим угол $\angle DAB$, равный $\frac{\alpha}{2}$. Получим луч $l_3$.
8. Точка пересечения прямой $CD$ и луча $l_3$ является вершиной $B$.
9. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Искомый треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$:

• Отрезок $AD$ имеет заданную длину по построению (шаг 2).
• Угол $\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$ (по шагам 3 и 7).
• Так как $\angle BAD = \angle CAD$, то $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.
• Угол $\angle ADC$ равен $\delta$ по построению (шаг 4).
• Точка $D$ лежит на стороне $BC$ по построению (шаги 6 и 8).

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если построение выполнимо, то есть лучи, определяющие вершины $C$ и $B$, пересекаются, и образуют невырожденный треугольник.

1. Для существования треугольника $ADC$ необходимо, чтобы сумма двух его углов была меньше $180^\circ$: $\angle CAD + \angle ADC < 180^\circ$, то есть $\frac{\alpha}{2} + \delta < 180^\circ$. Если это условие выполняется, то третий угол $\angle C = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \delta)$ будет положительным.
2. Для существования треугольника $ABD$ рассмотрим его углы. $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$. Угол $\angle ADB$ является смежным с углом $\angle ADC$, поэтому $\angle ADB = 180^\circ - \delta$. Сумма этих двух углов должна быть меньше $180^\circ$: $\angle BAD + \angle ADB < 180^\circ$, то есть $\frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \delta) < 180^\circ$. Упрощая, получаем $\frac{\alpha}{2} < \delta$. Если это условие выполняется, то третий угол $\angle B = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + 180^\circ - \delta) = \delta - \frac{\alpha}{2}$ будет положительным.

Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до симметрии относительно прямой AD) решение при выполнении условий: $\frac{\alpha}{2} < \delta$ и $\frac{\alpha}{2} + \delta < 180^\circ$. Также по определению $\alpha > 0$ и $\delta > 0$.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника приведен в разделе Построение. Построение возможно и единственно при выполнении условий $\frac{\alpha}{2} < \delta < 180^\circ - \frac{\alpha}{2}$.