Номер 183, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Дан треугольник $FKP$. Постройте точку, равноудалённую от точек $F$ и $P$ и находящуюся на расстоянии 1,5 см от точки $K$. Сколько решений может иметь задача?

183. Дан треугольник $FKP$. Постройте точку, равноудалённую от точек $F$ и $P$ и находящуюся на расстоянии 1,5 см от точки $K$. Сколько решений может иметь задача?

Чтобы построить искомую точку, необходимо найти пересечение двух геометрических мест точек (ГМТ), удовлетворяющих заданным условиям.

1. Построение точки, равноудалённой от F и P

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек ($F$ и $P$), — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($FP$). Обозначим эту прямую как $m$.

Для построения прямой $m$ необходимо:

1. Соединить точки $F$ и $P$ отрезком.
2. Из точек $F$ и $P$ как из центров провести две дуги окружностей одинакового радиуса $R$, где $R > \frac{1}{2}FP$.
3. Через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая $m$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $FP$.

2. Построение точки, находящейся на расстоянии 1,5 см от K

Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии $r = 1,5$ см от данной точки $K$, — это окружность с центром в точке $K$ и радиусом $r = 1,5$ см.

Решение задачи и анализ количества решений

Искомая точка (или точки) должна удовлетворять обоим условиям, следовательно, она является точкой пересечения серединного перпендикуляра $m$ и окружности с центром в $K$ и радиусом 1,5 см.

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $m$ и этой окружности. Оно определяется расстоянием от центра окружности (точки $K$) до прямой $m$. Обозначим это расстояние как $d$.

• Если расстояние от $K$ до прямой $m$ меньше радиуса ($d < 1,5$ см), то прямая пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние от $K$ до прямой $m$ равно радиусу ($d = 1,5$ см), то прямая касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние от $K$ до прямой $m$ больше радиуса ($d > 1,5$ см), то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Поскольку конкретный вид треугольника $FKP$ и, соответственно, расстояние от точки $K$ до серединного перпендикуляра отрезка $FP$ не заданы, возможен любой из трёх перечисленных случаев.

Ответ: В зависимости от вида треугольника $FKP$ задача может иметь два решения, одно решение или не иметь решений.