Номер 182, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Задачи на построение. Вариант 2. Упражнения - номер 182, страница 51.

Учебник 2017.

182. Даны окружность радиуса $3 \text{ см}$ и принадлежащая ей точка M. Постройте точку, удалённую от точки M на $2 \text{ см}$ и от центра окружности на $1.5 \text{ см}$. Сколько решений имеет задача?

Учебник 2021.

182. Даны окружность радиуса 3 см и принадлежащая ей точка M. Постройте точку, удалённую от точки M на 2 см и от центра окружности на 1,5 см. Сколько решений имеет задача?

Решение.

Решение 2 (2021).

Построение точки, удалённой от точки М на 2 см и от центра окружности на 1,5 см

Обозначим центр данной окружности буквой O. Её радиус по условию $R = 3$ см. Точка M принадлежит этой окружности, следовательно, расстояние от центра O до точки M равно радиусу: $OM = 3$ см.

Искомая точка, назовём её P, должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от точки P до точки M должно быть равно 2 см. Геометрическим местом точек, удалённых от точки M на 2 см, является окружность с центром в точке M и радиусом $r_M = 2$ см.
2. Расстояние от точки P до центра O должно быть равно 1,5 см. Геометрическим местом точек, удалённых от точки O на 1,5 см, является окружность с центром в точке O и радиусом $r_O = 1,5$ см.

Таким образом, искомые точки P являются точками пересечения этих двух окружностей.

Алгоритм построения:

1. Строим окружность с центром в точке O и радиусом 3 см.
2. Выбираем на ней произвольную точку M.
3. Из точки M как из центра строим вторую окружность радиусом $r_M = 2$ см.
4. Из точки O как из центра строим третью окружность радиусом $r_O = 1,5$ см.
5. Точки пересечения второй и третьей окружностей являются искомыми.

Ответ: искомые точки находятся на пересечении двух окружностей: окружности с центром в M и радиусом 2 см и окружности с центром в O и радиусом 1,5 см.

Сколько решений имеет задача?

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения двух построенных вспомогательных окружностей: с центром M и радиусом $r_M = 2$ см и с центром O и радиусом $r_O = 1,5$ см.

Расстояние между центрами этих окружностей равно $d = OM = 3$ см.

Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами $d$ больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы. Проверим выполнение этого условия в виде неравенства: $$|r_M - r_O| < d < r_M + r_O$$

Вычислим сумму и разность радиусов:

• Сумма радиусов: $r_M + r_O = 2 + 1,5 = 3,5$ см.
• Модуль разности радиусов: $|r_M - r_O| = |2 - 1,5| = 0,5$ см.

Подставим известные значения в неравенство: $$0,5 \text{ см} < 3 \text{ см} < 3,5 \text{ см}$$

Неравенство является верным, следовательно, окружности пересекаются в двух различных точках. Это означает, что задача имеет два решения.

Ответ: задача имеет 2 решения.