Номер 177, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу при вершине.

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу при вершине.

Задача на построение равнобедренного треугольника по биссектрисе угла при основании и углу при вершине решается в четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. Пусть $AC = BC$, $AB$ — основание. Угол при вершине $\angle C = \beta$ и биссектриса угла при основании $AD = l$ — известные величины.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle CAB + \angle CBA + \angle C = 180^\circ$. Отсюда $2\angle CAB + \beta = 180^\circ$, и мы можем выразить угол при основании через известный угол при вершине: $$ \angle CAB = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2} $$

Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle CAB$, она делит его на два равных угла: $$ \angle CAD = \angle DAB = \frac{\angle CAB}{2} = \frac{1}{2}\left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = 45^\circ - \frac{\beta}{4} $$

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. В нем нам известна сторона $AD = l$ и два угла: $\angle C = \beta$ и $\angle CAD = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$. Третий угол $\angle ADC$ также можно найти: $$ \angle ADC = 180^\circ - (\angle C + \angle CAD) = 180^\circ - \left(\beta + 45^\circ - \frac{\beta}{4}\right) = 135^\circ - \frac{3\beta}{4} $$

Таким образом, мы можем построить треугольник $ADC$ по стороне $AD$ и двум прилежащим к ней углам $\angle CAD$ и $\angle ADC$. После того как треугольник $ADC$ будет построен, мы найдем вершины $A$ и $C$. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ лежит на прямой, проходящей через точки $C$ и $D$. Также вершина $B$ лежит на луче, выходящем из точки $A$ и образующем с $AD$ угол $\angle DAB = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$. Точка $B$ — это точка пересечения этих двух прямых.

Ответ:

Построение

Пусть нам даны отрезок длины $l$ и угол $\beta$.

1. Построим вспомогательные углы, необходимые для построения треугольника $ADC$. Используя циркуль и линейку, построим биссектрисы, чтобы получить углы $\frac{\beta}{2}$ и $\frac{\beta}{4}$. Также построим прямой угол ($90^\circ$) и его биссектрису, чтобы получить угол $45^\circ$.
2. Построим угол $\angle CAD = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$ путем вычитания угла $\frac{\beta}{4}$ из угла $45^\circ$.
3. Построим угол $\angle ADC = 135^\circ - \frac{3\beta}{4}$. Это можно сделать, например, построив угол $135^\circ$ ($=90^\circ+45^\circ$) и вычтя из него угол $\frac{3\beta}{4}$ ($=\frac{\beta}{2}+\frac{\beta}{4}$).
4. На произвольной прямой отложим отрезок $AD$, равный $l$.
5. От луча $AD$ в одной полуплоскости отложим угол, равный $\angle CAD$, и проведем луч $AM$.
6. От луча $DA$ в той же полуплоскости отложим угол, равный $\angle ADC$, и проведем луч $DN$.
7. Точка $C$, в которой пересекаются лучи $AM$ и $DN$, является третьей вершиной треугольника $ADC$.
8. Проведем прямую через точки $C$ и $D$.
9. От луча $AD$ в ту же полуплоскость отложим угол, равный $\angle DAB = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$ так, чтобы он примыкал к стороне $AD$, но не совпадал с $\angle CAD$. Проведем луч $AK$.
10. Точка $B$, в которой пересекаются прямая $CD$ и луч $AK$, является третьей вершиной искомого треугольника.
11. Треугольник $ABC$ построен.

Ответ:

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ по построению равен $l$.

По построению $\angle CAD = \angle DAB = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$, следовательно, $AD$ является биссектрисой угла $\angle CAB$.

Величина угла $\angle CAB$ равна $\angle CAD + \angle DAB = (45^\circ - \frac{\beta}{4}) + (45^\circ - \frac{\beta}{4}) = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.

Угол $\angle C$ в треугольнике $ADC$ был построен так, что $\angle C = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - (45^\circ - \frac{\beta}{4}) - (135^\circ - \frac{3\beta}{4}) = \beta$.

Теперь найдем угол $\angle CBA$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому: $$ \angle CBA = 180^\circ - \angle CAB - \angle C = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) - \beta = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\beta}{2} - \beta = 90^\circ - \frac{\beta}{2} $$

Поскольку $\angle CAB = \angle CBA = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить треугольник $ADC$. Для этого необходимо, чтобы все его углы были положительными.

• $\angle C = \beta > 0$.
• $\angle CAD = 45^\circ - \frac{\beta}{4} > 0 \implies 180^\circ > \beta$.
• $\angle ADC = 135^\circ - \frac{3\beta}{4} > 0 \implies 540^\circ > 3\beta \implies 180^\circ > \beta$.

Все эти условия сводятся к одному: $0^\circ < \beta < 180^\circ$. Это естественное ограничение для угла в треугольнике. Если это условие выполнено, то все углы для построения определены однозначно, и все шаги построения выполнимы и приводят к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению.

Ответ: