Номер 161, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 5 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 5 см.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми $h = 3$ см. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), для каждой из которых сумма расстояний до этих прямых равна 5 см. Обозначим произвольную точку искомого ГМТ как $M$, расстояние от $M$ до $l_1$ как $d_1$, и расстояние от $M$ до $l_2$ как $d_2$. По условию задачи, $d_1 + d_2 = 5$ см.

Рассмотрим все возможные положения точки $M$ на плоскости.

1. Точка $M$ находится в полосе между прямыми $l_1$ и $l_2$. В этом случае, для любой такой точки сумма расстояний до ограничивающих полосу прямых постоянна и равна ширине полосы, то есть расстоянию между прямыми: $d_1 + d_2 = h = 3$ см. Так как по условию сумма должна быть равна 5 см, а $3 \neq 5$, то в области между прямыми искомых точек нет.

2. Точка $M$ находится вне полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$. Это означает, что точка $M$ и одна из прямых (например, $l_2$) лежат по одну сторону от другой прямой ($l_1$).Пусть $M$ лежит со стороны от прямой $l_1$, противоположной той, где лежит $l_2$. Тогда расстояние от $M$ до дальней прямой $l_2$ равно сумме расстояния до ближней прямой $l_1$ и расстояния между прямыми: $d_2 = d_1 + h = d_1 + 3$.Подставим это выражение в условие задачи:$d_1 + (d_1 + 3) = 5$$2d_1 + 3 = 5$$2d_1 = 2$$d_1 = 1$ см.Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии 1 см от прямой $l_1$ (с внешней стороны полосы). Множество всех таких точек образует прямую, параллельную $l_1$.Аналогично, если точка $M$ лежит со стороны от прямой $l_2$, противоположной той, где лежит $l_1$, то $d_1 = d_2 + h = d_2 + 3$.Подставляя в условие:$(d_2 + 3) + d_2 = 5$$2d_2 + 3 = 5$$2d_2 = 2$$d_2 = 1$ см.Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии 1 см от прямой $l_2$ (с внешней стороны полосы). Множество всех таких точек также образует прямую, параллельную $l_2$.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух прямых, которые параллельны данным и расположены по разные стороны от полосы, образованной данными прямыми, на расстоянии 1 см от ближайшей из них.

Ответ: Искомое ГМТ — это две прямые, параллельные данным, расположенные вне полосы между ними на расстоянии 1 см от каждой из данных прямых.