Номер 156, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Дан отрезок $CD$ длиной 2 см. Найдите ГМТ, равноудаленных от точек $C$ и $D$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой $CD$.

156. Дан отрезок $CD$ длиной 2 см. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $C$ и $D$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой $CD$.

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ) необходимо определить множество точек, удовлетворяющих одновременно двум заданным условиям.

Первое условие: точки равноудалены от точек $C$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, все искомые точки лежат на прямой, которая перпендикулярна отрезку $CD$ и проходит через его середину. Обозначим эту прямую как $m$.

Второе условие: точки находятся на расстоянии 3 см от прямой $CD$. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от прямой, — это две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на этом расстоянии от неё по разные стороны. Обозначим эти две прямые как $p_1$ и $p_2$. Каждая из них параллельна прямой $CD$ и находится на расстоянии 3 см от неё.

Искомое ГМТ является пересечением множеств точек, найденных для каждого из условий. То есть, это точки, которые одновременно лежат и на серединном перпендикуляре $m$, и на одной из двух параллельных прямых ($p_1$ или $p_2$).

Поскольку прямая $m$ перпендикулярна прямой $CD$, а прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны прямой $CD$, то прямая $m$ перпендикулярна каждой из прямых $p_1$ и $p_2$. Перпендикулярные прямые пересекаются в одной единственной точке. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $p_1$ в одной точке и прямую $p_2$ в другой точке.

Таким образом, существует ровно две точки, удовлетворяющие обоим условиям.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две точки, которые лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$ и удалены от прямой $CD$ на расстояние 3 см.