Номер 157, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. На одной из сторон тупого угла отмечены точки $C$ и $D$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $C$ и $D$ и находящихся на расстоянии $2,5$ см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

157. На одной из сторон тупого угла отмечены точки $C$ и $D$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $C$ и $D$ и находящихся на расстоянии 2,5 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

Для решения задачи необходимо найти пересечение двух геометрических мест точек (ГМТ).

Первое условие: точки должны быть равноудалены от точек C и D. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим этот серединный перпендикуляр к отрезку CD как прямую $m$.

Второе условие: точки должны находиться на расстоянии 2,5 см от прямой, содержащей вторую сторону угла. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от прямой, — это две параллельные прямые, расположенные по обе стороны от данной прямой на этом расстоянии. Обозначим сторону угла, на которой лежат точки C и D, как луч $a$, а вторую сторону — как луч $b$. Пусть прямая, содержащая луч $b$, будет прямой $l_b$. Тогда искомые точки лежат на одной из двух прямых, $p_1$ или $p_2$, таких что $p_1 \parallel l_b$ и $p_2 \parallel l_b$, и расстояние от каждой из этих прямых до $l_b$ равно 2,5 см.

Искомое ГМТ — это множество точек, удовлетворяющих обоим условиям одновременно, то есть это точки пересечения прямой $m$ с парой прямых $p_1$ и $p_2$.

Проанализируем количество точек пересечения. Прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку CD, который лежит на прямой, содержащей сторону $a$. Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна прямой, содержащей сторону $a$. Прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны прямой, содержащей сторону $b$. Поскольку по условию угол является тупым, его стороны не параллельны и не перпендикулярны. Это означает, что прямая $m$ не параллельна прямым $p_1$ и $p_2$. Любая прямая, не параллельная другой прямой, пересекает ее в одной точке. Следовательно, прямая $m$ пересечет прямую $p_1$ в одной точке и прямую $p_2$ в другой точке.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух точек.

Ответ: искомое геометрическое место точек — это две точки, которые являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку CD с двумя прямыми, параллельными второй стороне угла и отстоящими от нее на 2,5 см.