Номер 137, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и углу, который она образует с одним из катетов.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и углу, который она образует с одним из катетов.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, в которых прямые углы — $ \angle C $ и $ \angle C_1 $ соответственно. Пусть $CD$ и $C_1D_1$ — высоты, проведённые из вершин прямых углов к гипотенузам $AB$ и $A_1B_1$.

По условию задачи дано:

1. Высоты равны: $ CD = C_1D_1 $.
2. Угол, который высота образует с одним из катетов, равен соответствующему углу в другом треугольнике. Без ограничения общности, пусть это будет угол с катетом $BC$: $ \angle BCD = \angle B_1C_1D_1 $.

Доказательство:

1. Высота $CD$ перпендикулярна гипотенузе $AB$, поэтому $ \triangle CDB $ является прямоугольным с прямым углом $ \angle CDB $. Аналогично, $ \triangle C_1D_1B_1 $ является прямоугольным с прямым углом $ \angle C_1D_1B_1 $.

2. Сравним прямоугольные треугольники $ \triangle CDB $ и $ \triangle C_1D_1B_1 $. У них:

• Катет $CD$ равен катету $C_1D_1$ (по условию).
• Прилежащий к этому катету острый угол $ \angle BCD $ равен углу $ \angle B_1C_1D_1 $ (по условию).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle CDB $ и $ \triangle C_1D_1B_1 $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

3. Из равенства треугольников $ \triangle CDB \cong \triangle C_1D_1B_1 $ следует равенство их соответствующих элементов:

• Гипотенузы равны: $ BC = B_1C_1 $.
• Острые углы равны: $ \angle B = \angle B_1 $.

4. Теперь сравним исходные прямоугольные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы имеем:

• Катет $BC$ равен катету $B_1C_1$ (по доказанному).
• Прилежащий к этому катету острый угол $ \angle B $ равен углу $ \angle B_1 $ (по доказанному).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и углу, который она образует с одним из катетов, доказано.