Номер 143, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. В прямоугольном треугольнике $CFO$ гипотенуза $CO$ равна $42$ см, $\angle O = 60^\circ$. Найдите катет $FO$.

143. В прямоугольном треугольнике CFO гипотенуза CO равна 42 см, $ \angle O = 60^\circ $. Найдите катет FO.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $CFO$. Так как $CO$ — гипотенуза, то прямой угол в треугольнике — это $\angle F = 90^\circ$.

Известно:

• Гипотенуза $CO = 42$ см.
• Острый угол $\angle O = 60^\circ$.

Требуется найти длину катета $FO$. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Использование тригонометрических функций

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего (близкого) к этому углу катета к гипотенузе. Для угла $\angle O$ катет $FO$ является прилежащим.

Запишем формулу косинуса для угла $\angle O$:

$\cos(\angle O) = \frac{FO}{CO}$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $\angle O = 60^\circ$ и $CO = 42$ см.

$\cos(60^\circ) = \frac{FO}{42}$

Теперь выразим катет $FO$:

$FO = 42 \cdot \cos(60^\circ)$

Значение косинуса $60^\circ$ является стандартным и равно $\frac{1}{2}$.

$FO = 42 \cdot \frac{1}{2} = 21$ см.

Способ 2. Использование свойств прямоугольного треугольника

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол, $\angle C$:

$\angle C = 90^\circ - \angle O = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Существует свойство, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет $FO$ лежит как раз напротив угла $\angle C$, который равен $30^\circ$.

Следовательно:

$FO = \frac{1}{2} \cdot CO$

Подставим значение гипотенузы $CO$:

$FO = \frac{1}{2} \cdot 42 = 21$ см.

Ответ: 21 см.