Номер 140, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 48 см, 60 см, 80 см и 100 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведенная к гипотенузе, равны 48 см, 60 см, 80 см и 100 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведенной к гипотенузе.

Пусть $a$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника, $c$ – гипотенуза, а $h$ – высота, проведённая к гипотенузе. Нам даны четыре значения: 48 см, 60 см, 80 см и 100 см, которые соответствуют этим четырём отрезкам.

Для определения соответствия длин сторонам и высоте воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника:
- Гипотенуза $c$ является самой длинной стороной треугольника, то есть $c > a$ и $c > b$.
- Высота $h$, проведённая к гипотенузе, короче обоих катетов, то есть $h < a$ и $h < b$.
- Для сторон выполняется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
- Площадь треугольника можно вычислить двумя способами, из чего следует равенство: $ab = ch$.

Исходя из этих свойств, мы можем однозначно определить, какое значение какому отрезку соответствует.
1. Так как гипотенуза – самая длинная сторона, её длина должна быть наибольшей из предложенных значений. Следовательно, гипотенуза $c = 100$ см.
2. Так как высота, проведённая к гипотенузе, короче любого из катетов, она должна быть наименьшей из предложенных значений. Следовательно, высота $h = 48$ см.
3. Оставшиеся два значения, 60 см и 80 см, должны быть длинами катетов. Пусть $a = 60$ см и $b = 80$ см.

Теперь проверим, выполняются ли для этих значений ключевые равенства для прямоугольного треугольника.
Проверка по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$.
$100^2 = 10000$.
Равенство $10000 = 10000$ выполняется.
Проверка по формуле площади: $ab = ch$.
$60 \cdot 80 = 4800$.
$100 \cdot 48 = 4800$.
Равенство $4800 = 4800$ также выполняется.
Все условия соблюдены, следовательно, наше распределение длин верно.

Длины катетов этого треугольника
На основании проведённого анализа, длины катетов составляют 60 см и 80 см.
Ответ: 60 см и 80 см.

Длина гипотенузы
На основании проведённого анализа, длина гипотенузы составляет 100 см.
Ответ: 100 см.

Длина высоты, проведённой к гипотенузе
На основании проведённого анализа, длина высоты, проведённой к гипотенузе, составляет 48 см.
Ответ: 48 см.