Номер 133, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Из точки D, принадлежащей углу ABC, проведены перпендикуляры DE и DF к его сторонам. Найдите угол DBE, если $\angle DBF = 36^\circ$ и $\angle BDE = \angle BDF$.

133. Из точки $D$, принадлежащей углу $ABC$, проведены перпендикуляры $DE$ и $DF$ к его сторонам. Найдите угол $DBE$, если $\angle DBF = 36^\circ$ и $\angle BDE = \angle BDF$.

По условию задачи, из точки $D$ проведены перпендикуляры $DE$ и $DF$ к сторонам угла $ABC$. Это означает, что $DE$ перпендикулярна одной стороне угла (например, $BA$), а $DF$ — другой стороне ($BC$). Следовательно, треугольники $\triangle BDE$ и $\triangle BDF$ являются прямоугольными, так как $\angle DEB = 90^\circ$ и $\angle DFB = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDF$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Поэтому:

$\angle DBF + \angle BDF = 90^\circ$

Из условия известно, что $\angle DBF = 36^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$36^\circ + \angle BDF = 90^\circ$

Отсюда найдем угол $\angle BDF$:

$\angle BDF = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$

В условии задачи также сказано, что $\angle BDE = \angle BDF$. Следовательно:

$\angle BDE = 54^\circ$

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, $\triangle BDE$. Сумма его острых углов также равна $90^\circ$:

$\angle DBE + \angle BDE = 90^\circ$

Подставим найденное значение угла $\angle BDE$:

$\angle DBE + 54^\circ = 90^\circ$

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle DBE$:

$\angle DBE = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$

Ответ: $36^\circ$.