Номер 134, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. На рисунке 187 $NE \perp MK$, $PF \perp MK$, $MN = KP$, $NE = PF$.

Докажите, что $MP = NK$.

Рис. 187

134. На рисунке 187 $NE \perp MK, PF \perp MK, MN = KP, NE = PF.$ Докажите, что $MP = NK.$

Рис. 187

Докажите, что MP = NK.

1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\Delta NEM$ и $\Delta PFK$.

Согласно условию задачи, $NE \perp MK$ и $PF \perp MK$. Это означает, что углы $\angle NEM$ и $\angle PFK$ являются прямыми, то есть $\angle NEM = \angle PFK = 90^\circ$.

Сравним эти треугольники по известным элементам:
• $MN = KP$ (гипотенузы, дано по условию).
• $NE = PF$ (катеты, дано по условию).

Поскольку гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то эти треугольники равны. Таким образом, $\Delta NEM \cong \Delta PFK$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны их острые углы: $\angle NME = \angle PKF$. Так как точки E и F принадлежат отрезку MK, то можно утверждать, что $\angle NMK = \angle PKM$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\Delta MPK$ и $\Delta NKM$.

Для этих треугольников имеем:
• $KP = MN$ (дано по условию).
• $MK$ — общая сторона.
• $\angle PKM = \angle NMK$ (как было доказано в предыдущем пункте).

Следовательно, $\Delta MPK \cong \Delta NKM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\Delta MPK$ и $\Delta NKM$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $MP$ в треугольнике $\Delta MPK$ лежит напротив угла $\angle MKP$, а сторона $NK$ в треугольнике $\Delta NKM$ лежит напротив равного ему угла $\angle NMK$. Значит, эти стороны являются соответствующими и, следовательно, равными.

Таким образом, $MP = NK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MP = NK$ доказано.