Номер 138, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $CM$ и $C_1M_1$. Докажите, что если $AM = A_1M_1$, $CM = C_1M_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $CM$ и $C_1M_1$. Докажите, что если $AM = A_1M_1$, $CM = C_1M_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим остроугольные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, в которых проведены высоты $CM$ к стороне $AB$ и $C_1M_1$ к стороне $A_1B_1$.

По условию задачи нам дано:

• $AM = A_1M_1$
• $CM = C_1M_1$
• $\angle B = \angle B_1$

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Сначала рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CMB$ и $\triangle C_1M_1B_1$. Они являются прямоугольными, так как $CM$ и $C_1M_1$ — высоты, следовательно $\angle CMB = \angle C_1M_1B_1 = 90^\circ$.

Сравним эти треугольники:

• Катет $CM$ равен катету $C_1M_1$ (по условию).
• Прилежащий к этому катету острый угол $\angle B$ равен прилежащему острому углу $\angle B_1$ (по условию).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle CMB$ и $\triangle C_1M_1B_1$ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон: $MB = M_1B_1$ и $BC = B_1C_1$.

2. Теперь найдём длины сторон $AB$ и $A_1B_1$. Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ остроугольные, основания высот $M$ и $M_1$ лежат на сторонах $AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Поэтому длины этих сторон можно выразить как сумму длин отрезков:

$AB = AM + MB$

$A_1B_1 = A_1M_1 + M_1B_1$

Из условия мы знаем, что $AM = A_1M_1$. В предыдущем шаге мы доказали, что $MB = M_1B_1$. Складывая левые и правые части этих равенств, получаем: $AM + MB = A_1M_1 + M_1B_1$, что означает $AB = A_1B_1$.

3. Наконец, сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили следующие равенства:

• $AB = A_1B_1$ (доказано в шаге 2).
• $BC = B_1C_1$ (доказано в шаге 1).
• $\angle B = \angle B_1$ (по условию).

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, доказано.