Номер 144, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. В треугольнике $KPE$ известно, что $\angle P = 90^\circ$, $\angle K = 30^\circ$. На катете $PK$ отметили такую точку $F$, что $\angle PEF = 30^\circ$. Найдите $KF$, если $FP = 6$ см.

144. В треугольнике $KPE$ известно, что $\angle P = 90^\circ$, $\angle K = 30^\circ$.

На катете $PK$ отметили такую точку $F$, что $\angle PEF = 30^\circ$.

Найдите $KF$, если $FP = 6$ см.

1. Рассмотрим треугольник $KPE$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Нам известно, что $∠P = 90°$ и $∠K = 30°$. Найдем третий угол $∠E$ (полное название $∠KEP$):
$∠KEP = 180° - ∠P - ∠K = 180° - 90° - 30° = 60°$.

2. Угол $∠KEP$ разделен отрезком $EF$ на два угла: $∠KEF$ и $∠PEF$. По условию задачи, $∠PEF = 30°$. Можем найти величину угла $∠KEF$:
$∠KEF = ∠KEP - ∠PEF = 60° - 30° = 30°$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $KFE$. В этом треугольнике мы знаем два угла: $∠K = 30°$ (из условия) и $∠KEF = 30°$ (из предыдущего пункта).
Поскольку в треугольнике $KFE$ два угла равны ($∠K = ∠KEF$), то он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $KF = FE$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $PFE$ (угол $∠P = 90°$). В нем известен катет $FP = 6$ см и противолежащий ему угол $∠PEF = 30°$. Мы можем найти длину гипотенузы $FE$.
По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(∠PEF) = \frac{FP}{FE}$
$\sin(30°) = \frac{6}{FE}$
Мы знаем, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{6}{FE}$
Отсюда находим $FE$:
$FE = 6 \cdot 2 = 12$ см.

5. Из пункта 3 мы знаем, что $KF = FE$. Так как мы нашли, что $FE = 12$ см, то и $KF = 12$ см.

Ответ: 12 см.