Номер 148, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$. Биссектриса угла $B$ пересекает катет $AC$ в точке $M$. Найдите $BM$, если $AM - CM = 4$ см.

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$. Биссектриса угла $B$ пересекает катет $AC$ в точке $M$. Найдите $BM$, если $AM - CM = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник с $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому найдем угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

$BM$ является биссектрисой угла $B$, следовательно, она делит этот угол пополам:
$\angle CBM = \angle ABM = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем $\angle A = 30^\circ$ и $\angle ABM = 30^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, то треугольник $ABM$ является равнобедренным, а его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AM = BM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBM$ ($\angle C = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $CM$ лежит напротив угла $\angle CBM = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника с углом $30^\circ$, катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. В данном случае гипотенузой является $BM$. Следовательно, $CM = \frac{1}{2} BM$.

Теперь воспользуемся условием задачи: $AM - CM = 4$ см. Подставим в это уравнение найденные выражения для $AM$ и $CM$ через $BM$:
$BM - \frac{1}{2} BM = 4$
$\frac{1}{2} BM = 4$
$BM = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.