Номер 142, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Из точки $D$ к прямой $AB$ проведены наклонные $DA$ и $DB$ и перпендикуляр $DC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и угол $ADC$ равен $38^\circ$. Сравните отрезки $DB$ и $AC$.

142. Из точки $D$ к прямой $AB$ проведены наклонные $DA$ и $DB$ и перпендикуляр $DC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и угол $ADC$ равен $38^\circ$. Сравните отрезки $DB$ и $AC$.

По условию задачи, отрезок $DC$ является перпендикуляром к прямой $AB$. Это означает, что треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DCA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ мы можем связать катеты $AC$ и $DC$ через тангенс острого угла $\angle ADC$, который по условию равен $38^\circ$. Отношение противолежащего катета ($AC$) к прилежащему катету ($DC$) равно тангенсу угла:
$\tan(\angle ADC) = \frac{AC}{DC}$

Из этой формулы выразим длину отрезка $AC$:
$AC = DC \cdot \tan(38^\circ)$

Теперь сравним значение $\tan(38^\circ)$ с единицей. Известно, что $\tan(45^\circ) = 1$. Поскольку функция тангенса в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ является возрастающей, а $38^\circ < 45^\circ$, то справедливо неравенство $\tan(38^\circ) < \tan(45^\circ) = 1$.

Так как $\tan(38^\circ) < 1$, а длина отрезка $DC$ является положительной величиной ($DC > 0$), то:
$AC = DC \cdot \tan(38^\circ) < DC \cdot 1$
Следовательно, $AC < DC$.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. Так как $DC \perp AB$, этот треугольник также является прямоугольным с прямым углом $\angle DCB = 90^\circ$. В этом треугольнике $DB$ является гипотенузой, а $DC$ - одним из катетов. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Поэтому $DB > DC$.

Мы получили два неравенства: $AC < DC$ и $DB > DC$. Объединяя их, получаем следующую цепочку неравенств:
$AC < DC < DB$

Из этой цепочки следует, что $AC < DB$.

Ответ: $DB > AC$.