Номер 145, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. В прямоугольном треугольнике $DEP (\angle P = 90^\circ)$ провели высоту $PK$. Найдите угол $PDE$, если $PE = 6$ см, $KE = 3$ см.

145. В прямоугольном треугольнике DEP ($\angle P = 90^\circ$) провели высоту PK. Найдите угол $\angle PDE$, если $PE = 6 \text{ см}$, $KE = 3 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $PKE$. Так как $PK$ — высота, проведенная к гипотенузе $DE$ в треугольнике $DEP$, то $\triangle PKE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ ($\angle PKE = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $KE$ прилежит к углу $\angle PEK$, а сторона $PE$ является гипотенузой. По условию дано, что $PE = 6$ см и $KE = 3$ см.

Найдем величину угла $\angle PEK$ (который также является углом $\angle E$ в треугольнике $DEP$) с помощью косинуса. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\angle PEK) = \frac{KE}{PE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle PEK = \angle E = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим исходный прямоугольный треугольник $DEP$. По условию, угол $\angle P = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Значит:

$\angle PDE + \angle PED = 90^\circ$

Подставим найденное значение угла $\angle PED$ (то есть $\angle E$):

$\angle PDE + 60^\circ = 90^\circ$

Отсюда найдем искомый угол $\angle PDE$:

$\angle PDE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.