Номер 147, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. На рисунке 189 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle AMC = 90^\circ$, $\angle MAC = 30^\circ$. Найдите угол $BAC$, если $AB = 40$ см, $MC = 10$ см.

Рис. 189

147. На рисунке 189 $ \angle ACB = 90^\circ $, $ \angle AMC = 90^\circ $, $ \angle MAC = 30^\circ $. Найдите угол BAC, если $ AB = 40 \text{ см} $, $ MC = 10 \text{ см} $.

Рис. 189

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$ ($\angle AMC = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $MC$, равный 10 см, лежит напротив угла $\angle MAC$, равного $30^\circ$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно:

$\sin(\angle MAC) = \frac{MC}{AC}$

Подставим известные значения. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} = \frac{10}{AC}$

Отсюда найдем длину гипотенузы $AC$:

$AC = 10 \cdot 2 = 20$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$ ($\angle ACB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $AC = 20$ см и гипотенуза $AB = 40$ см.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle BAC$ катет $AC$ является прилежащим. Следовательно:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle BAC) = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle BAC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.