Номер 137, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины второго острого угла.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины второго острого угла.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых углы $\angle C$ и $\angle C_1$ — прямые.

Пусть по условию задачи нам дано:
1. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
2. Один острый угол первого треугольника равен соответствующему острому углу второго, например, $\angle A = \angle A_1$.
3. Биссектрисы, проведённые из вершин вторых острых углов, равны. Пусть $BL$ — биссектриса угла $\angle B$ в $\triangle ABC$, а $B_1L_1$ — биссектриса угла $\angle B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. По условию, $BL = B_1L_1$.

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет $90^\circ$. Для $\triangle ABC$ имеем $\angle A + \angle B = 90^\circ$, откуда $\angle B = 90^\circ - \angle A$. Аналогично, для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$, откуда $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$. Поскольку по условию $\angle A = \angle A_1$, то отсюда следует, что и вторые острые углы также равны: $\angle B = \angle B_1$.

2. Так как $BL$ и $B_1L_1$ являются биссектрисами равных углов $\angle B$ и $\angle B_1$ соответственно, они делят эти углы на равные половины: $\angle CBL = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle C_1B_1L_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$. Из того, что $\angle B = \angle B_1$, следует, что $\angle CBL = \angle C_1B_1L_1$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle BCL$ и $\triangle B_1C_1L_1$. Они оба являются прямоугольными, так как $\angle C = 90^\circ$ и $\angle C_1 = 90^\circ$. В этих треугольниках равны гипотенузы ($BL = B_1L_1$ по условию) и по одному острому углу ($\angle CBL = \angle C_1B_1L_1$ как было доказано выше). Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle BCL$ и $\triangle B_1C_1L_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

4. Из равенства треугольников $\triangle BCL$ и $\triangle B_1C_1L_1$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны их катеты: $BC = B_1C_1$.

5. Теперь сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них равны катеты ($BC = B_1C_1$) и прилежащие к ним острые углы ($\angle B = \angle B_1$). Таким образом, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.