Номер 136, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общую гипотенузу $AC$, а точки $B$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$. Докажите, что если $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

136. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общую гипотенузу $AC$, а точки $B$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$. Докажите, что если $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

По условию, треугольники $ABC$ и $ADC$ являются прямоугольными и имеют общую гипотенузу $AC$. Это означает, что углы, опирающиеся на гипотенузу, прямые: $∠ABC = 90°$ и $∠ADC = 90°$.

Рассмотрим треугольники $ΔABC$ и $ΔCDA$. Сравним эти треугольники:

1. $AC$ — общая сторона (является гипотенузой для обоих треугольников).
2. $∠BAC = ∠ACD$ (по условию задачи).

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $ΔABC = ΔCDA$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $∠BCA$ в треугольнике $ΔABC$ соответствует углу $∠CAD$ в треугольнике $ΔCDA$. Таким образом, $∠BCA = ∠CAD$.

Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими углами при этих прямых и секущей.

Поскольку мы доказали, что накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠CAD$ равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.