Номер 135, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. В треугольнике $ABC$ провели медиану $BM$. Из точек $A$ и $C$ на прямую $BM$ опустили перпендикуляры $AK$ и $CN$. Докажите, что $AK = CN$.

135. В треугольнике $ABC$ провели медиану $BM$. Из точек $A$ и $C$ на прямую $BM$ опустили перпендикуляры $AK$ и $CN$. Докажите, что $AK = CN$.

Для доказательства равенства отрезков $AK$ и $CN$ рассмотрим треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CNM $.

1. По условию, $ BM $ — медиана треугольника $ \triangle ABC $. По определению медианы, точка $ M $ является серединой стороны $ AC $, следовательно, отрезки $ AM $ и $ CM $ равны: $ AM = CM $.

2. По условию, $ AK $ и $ CN $ — перпендикуляры, опущенные из точек $ A $ и $ C $ на прямую $ BM $. Это означает, что $ \angle AKM $ и $ \angle CNM $ — прямые углы, то есть $ \angle AKM = \angle CNM = 90^\circ $. Следовательно, треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CNM $ являются прямоугольными.

3. Углы $ \angle AMK $ и $ \angle CMN $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $ AC $ и $ BM $. По свойству вертикальных углов, они равны: $ \angle AMK = \angle CMN $.

Таким образом, сравнивая прямоугольные треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CNM $, мы имеем:
- $ AM = CM $ (равные гипотенузы).
- $ \angle AMK = \angle CMN $ (равные острые углы).

Следовательно, треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CNM $ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон (катетов). Катет $ AK $ лежит напротив угла $ \angle AMK $, а катет $ CN $ лежит напротив равного ему угла $ \angle CMN $. Значит, $ AK = CN $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AK = CN $ доказано на основании признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу ($ \triangle AKM = \triangle CNM $).