Номер 128, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Может ли наибольшая сторона треугольника лежать против угла $54^\circ$?

128. Может ли наибольшая сторона треугольника лежать против угла $54^\circ$?

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. Таким образом, если предположить, что наибольшая сторона треугольника лежит против угла в $54°$, то этот угол должен быть наибольшим в данном треугольнике.

Проверим это предположение. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180°$: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$.

Допустим, $\alpha = 54°$ и это наибольший угол. Тогда два других угла, $\beta$ и $\gamma$, должны быть меньше или равны $54°$:

$\beta \le 54°$

$\gamma \le 54°$

Найдем сумму двух других углов из основного свойства треугольника:

$\beta + \gamma = 180° - \alpha = 180° - 54° = 126°$.

Теперь сравним это с суммой, которую мы можем получить из нашего предположения. Если $\beta \le 54°$ и $\gamma \le 54°$, то их максимальная возможная сумма:

$\beta + \gamma \le 54° + 54° = 108°$.

Мы получили противоречие: с одной стороны, сумма двух углов должна быть ровно $126°$, а с другой стороны, при нашем предположении она не может быть больше $108°$. Следовательно, предположение о том, что угол в $54°$ является наибольшим, неверно. В треугольнике обязательно должен быть угол больше $54°$.

Поскольку угол в $54°$ не может быть наибольшим углом в треугольнике, то и лежащая против него сторона не может быть наибольшей.

Ответ: нет, не может.