Номер 121, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Высота $CH$ и биссектриса $BM$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $K$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle HKM = 116^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $BM$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $K$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle HKM=116^\circ$.

Поскольку точки $B$, $K$, $M$ лежат на одной прямой (биссектрисе $BM$), углы $\angle BKH$ и $\angle HKM$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle BKH = 180^\circ - \angle HKM = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BKH$. Так как $CH$ — это высота, проведенная к стороне $AB$, то $CH \perp AB$, и следовательно, $\angle CHB = 90^\circ$. Поскольку точка $K$ лежит на высоте $CH$, то $\angle KHB = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle BKH$ является прямоугольным.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Для $\triangle BKH$ это означает:

$\angle KBH + \angle BKH = 90^\circ$.

Поскольку $BM$ — биссектриса угла $\angle ABC$, то $\angle KBH$ является половиной угла $\angle ABC$, то есть $\angle KBH = \frac{1}{2}\angle ABC$.

Подставим известные значения в равенство:

$\frac{1}{2}\angle ABC + 64^\circ = 90^\circ$.

Отсюда найдем величину угла $\angle ABC$:

$\frac{1}{2}\angle ABC = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$.

$\angle ABC = 2 \cdot 26^\circ = 52^\circ$.

Так как $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), сумма его острых углов равна $90^\circ$. Найдем второй острый угол, $\angle BAC$:

$\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ$.

$\angle BAC = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$.

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ равны $38^\circ$ и $52^\circ$.

Ответ: $38^\circ$ и $52^\circ$.