Номер 117, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $130^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $130^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

Задача имеет два решения, так как биссектрисы могут быть проведены от разных углов равнобедренного треугольника. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Пересекаются биссектрисы углов при основании.

Пусть в равнобедренном треугольнике углы при основании равны $\alpha$, а угол при вершине равен $\beta$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно, $2\alpha + \beta = 180^\circ$.

Пусть биссектрисы углов при основании пересекаются в точке $O$. Они образуют треугольник с основанием исходного треугольника. Углы этого нового треугольника при основании равны $\alpha/2$. Угол при вершине $O$, который является углом пересечения биссектрис, равен $180^\circ - (\alpha/2 + \alpha/2) = 180^\circ - \alpha$.

При пересечении двух прямых образуются смежные углы, сумма которых $180^\circ$. Один из них острый, другой тупой (если они не прямые). По условию, один из углов равен $130^\circ$, который является тупым. Угол при основании равнобедренного треугольника $\alpha$ всегда острый ($\alpha < 90^\circ$), поэтому угол $180^\circ - \alpha$ будет тупым ($ > 90^\circ$). Следовательно, именно этот угол равен $130^\circ$.

$180^\circ - \alpha = 130^\circ$

Отсюда находим угол при основании $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Теперь находим угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Таким образом, первый возможный набор углов треугольника: $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Случай 2: Пересекаются биссектрисы угла при основании и угла при вершине.

Пусть биссектрисы проведены из углов $\alpha$ (при основании) и $\beta$ (при вершине). Они образуют треугольник, два угла которого равны $\alpha/2$ и $\beta/2$. Третий угол этого треугольника, являющийся углом пересечения биссектрис, равен $180^\circ - (\alpha/2 + \beta/2)$.

Предположим, что этот тупой угол равен $130^\circ$.

$180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = 130^\circ$

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 50^\circ$

$\alpha + \beta = 100^\circ$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2\alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha + \beta = 100^\circ \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$(2\alpha + \beta) - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 100^\circ \implies \alpha = 80^\circ$.

Подставляя $\alpha = 80^\circ$ во второе уравнение, находим $\beta$:

$\beta = 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ$.

Второй возможный набор углов: $80^\circ, 80^\circ, 20^\circ$.

(Если бы мы предположили, что $130^\circ$ — это острый угол, то смежный с ним тупой угол был бы $50^\circ$. Это привело бы к уравнению $\alpha + \beta = 260^\circ$, что в системе с $2\alpha + \beta = 180^\circ$ дает отрицательный угол $\alpha$, что невозможно).

Таким образом, мы нашли два возможных набора углов, что означает, что задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет два решения: 1) углы треугольника $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$; 2) углы треугольника $80^\circ, 80^\circ, 20^\circ$.