Номер 111, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Один из углов треугольника равен $96^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным:

1) $92^\circ$;

2) $97^\circ$?

111. Один из углов треугольника равен $96^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $92^\circ$; 2) $97^\circ$?

Пусть углы треугольника равны $ \alpha, \beta $ и $ \gamma $. По условию, один из углов равен $ 96^\circ $. Пусть $ \alpha = 96^\circ $.

Сумма углов треугольника равна $ 180^\circ $, поэтому $ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $.
Отсюда $ \beta + \gamma = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ $.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внешний угол, не смежный с углом $ \alpha $, — это внешний угол при вершине с углом $ \beta $ или при вершине с углом $ \gamma $.

Внешний угол при вершине $ \beta $ равен $ \alpha + \gamma = 96^\circ + \gamma $.
Внешний угол при вершине $ \gamma $ равен $ \alpha + \beta = 96^\circ + \beta $.

Так как любой внутренний угол треугольника является положительной величиной ($ \beta > 0^\circ $ и $ \gamma > 0^\circ $), то любой внешний угол, не смежный с углом в $ 96^\circ $, должен быть строго больше, чем $ 96^\circ $.

1) 92°

Проверим, может ли такой внешний угол быть равен $ 92^\circ $.
Значение $ 92^\circ $ меньше $ 96^\circ $, что противоречит выведенному нами условию ($ 92^\circ < 96^\circ $). Следовательно, внешний угол, не смежный с углом $ 96^\circ $, не может быть равен $ 92^\circ $.
Если бы он был равен $ 92^\circ $, то мы бы имели, например, $ 96^\circ + \gamma = 92^\circ $, откуда $ \gamma = 92^\circ - 96^\circ = -4^\circ $. Угол треугольника не может быть отрицательным.
Ответ: нет, не может.

2) 97°

Проверим, может ли такой внешний угол быть равен $ 97^\circ $.
Значение $ 97^\circ $ больше $ 96^\circ $, что не противоречит условию ($ 97^\circ > 96^\circ $). Найдем углы такого треугольника.
Пусть внешний угол при одной из вершин (например, при вершине с углом $ \beta $) равен $ 97^\circ $. Тогда $ \alpha + \gamma = 97^\circ $, то есть $ 96^\circ + \gamma = 97^\circ $. Отсюда находим $ \gamma = 1^\circ $.
Так как $ \beta + \gamma = 84^\circ $, то $ \beta = 84^\circ - \gamma = 84^\circ - 1^\circ = 83^\circ $.
Таким образом, мы получили треугольник с углами $ 96^\circ, 83^\circ, 1^\circ $. Сумма углов $ 96^\circ + 83^\circ + 1^\circ = 180^\circ $, все углы положительные, значит такой треугольник существует.
Ответ: да, может.