Номер 108, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Найдите углы треугольника $ABC$, если $ \angle A + \angle B = 20^{\circ} $, $ \angle A + \angle C = 175^{\circ} $.

108. Найдите углы треугольника ABC, если $\angle A + \angle B = 20^\circ$, $\angle A + \angle C = 175^\circ$.

Для нахождения углов треугольника $ABC$ воспользуемся основной теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех углов любого треугольника равна $180^\circ$.
Запишем это в виде формулы:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Нам даны два условия:
1) $\angle A + \angle B = 20^\circ$
2) $\angle A + \angle C = 175^\circ$

Мы можем составить систему из трех уравнений и решить ее.

Шаг 1: Нахождение угла C
Подставим значение суммы $\angle A + \angle B$ из первого условия в формулу суммы углов треугольника:
$(\angle A + \angle B) + \angle C = 180^\circ$
$20^\circ + \angle C = 180^\circ$
Выразим отсюда $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - 20^\circ$
$\angle C = 160^\circ$

Шаг 2: Нахождение угла A
Теперь, когда мы знаем величину угла $C$, подставим ее во второе условие, чтобы найти угол $A$:
$\angle A + \angle C = 175^\circ$
$\angle A + 160^\circ = 175^\circ$
Выразим отсюда $\angle A$:
$\angle A = 175^\circ - 160^\circ$
$\angle A = 15^\circ$

Шаг 3: Нахождение угла B
Зная величину угла $A$, подставим ее в первое условие, чтобы найти угол $B$:
$\angle A + \angle B = 20^\circ$
$15^\circ + \angle B = 20^\circ$
Выразим отсюда $\angle B$:
$\angle B = 20^\circ - 15^\circ$
$\angle B = 5^\circ$

Проверка:
Сложим все найденные углы, чтобы убедиться, что их сумма равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 15^\circ + 5^\circ + 160^\circ = 20^\circ + 160^\circ = 180^\circ$.
Расчеты верны.

Ответ: $\angle A = 15^\circ$, $\angle B = 5^\circ$, $\angle C = 160^\circ$.