Номер 102, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. На рисунке 181 биссектриса угла $CKF$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$, а биссектриса угла $KFB$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. Докажите, что если $EF = FK$, то $EF = KP$.

Рис. 181

102. На рисунке 181 биссектриса угла $CKF$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$, а биссектриса угла $KFB$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. Докажите, что если $EF = FK$, то $EF = KP$.

Рис. 181

Рассмотрим треугольник $\triangle EFK$. По условию $EF = FK$, следовательно, $\triangle EFK$ является равнобедренным, и углы при его основании $EK$ равны: $\angle FEK = \angle FKE$.

Поскольку по условию луч $KE$ является биссектрисой угла $\angle CKF$, то он делит этот угол пополам: $\angle CKE = \angle EKF$.

Из двух предыдущих равенств ($\angle FEK = \angle FKE$ и $\angle CKE = \angle EKF$) следует, что $\angle FEK = \angle CKE$.

Углы $\angle FEK$ и $\angle CKE$ являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $EK$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых $AB \parallel CD$.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $FP$. Внутренние накрест лежащие углы при этой секущей равны: $\angle BFP = \angle FPK$.

По условию, луч $FP$ является биссектрисой угла $\angle KFB$, следовательно, $\angle KFP = \angle PFB$.

Из двух последних равенств ($\angle BFP = \angle FPK$ и $\angle KFP = \angle PFB$) следует, что $\angle KFP = \angle FPK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle KFP$. Так как в нём два угла равны ($\angle KFP = \angle FPK$), то он является равнобедренным с основанием $FP$. Стороны, противолежащие равным углам, равны: $FK = KP$.

Итак, мы имеем $EF = FK$ по условию и $FK = KP$ по доказанному. Отсюда следует, что $EF = KP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.