Номер 96, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. На рисунке 178 $MK = KE$, $\angle NMK = \angle FMK$, $\angle MNK = \angle ENK$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

96. На рисунке 178 $MK = KE$, $\angle NMK = \angle FMK$, $\angle MNK = \angle ENK$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Рис. 178

Рассмотрим треугольник $MNE$.

1. По условию задачи, отрезок $MK$ равен отрезку $KE$ ($MK = KE$). Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $ME$. Следовательно, отрезок $NK$ является медианой треугольника $MNE$, проведенной из вершины $N$.

2. Также по условию, угол $MNK$ равен углу $ENK$ ($∠MNK = ∠ENK$). Это означает, что отрезок $NK$ является также и биссектрисой угла $MNE$.

3. В треугольнике $MNE$ отрезок $NK$ является одновременно и медианой, и биссектрисой. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной и той же вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $MNE$ является равнобедренным с основанием $ME$.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда следует, что $∠NME = ∠NEM$.

5. Углы $∠NME$ и $∠NEM$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $ME$.

6. Поскольку накрест лежащие углы равны ($∠NME = ∠NEM$), то по признаку параллельности прямых, прямые $AB$ и $CD$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $AB$ и $CD$ доказана.