Номер 90, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. На рисунке 172 $\angle BAM = \angle BCM$, $\angle ABM = \angle CBM$, $DK = FK$, $DE = EF$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 172

90. На рисунке 172 $\angle BAM = \angle BCM, \angle ABM = \angle CBM, DK = FK, DE = EF$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 172

Для доказательства того, что прямые a и b параллельны, мы докажем, что обе они перпендикулярны одной и той же третьей прямой. Обозначим горизонтальную прямую, проходящую через точки A, C, K, E, как прямую c.

1. Докажем, что прямая a перпендикулярна прямой c.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию задачи дано, что $\angle BAM = \angle BCM$ и $\angle ABM = \angle CBM$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$:$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

Поскольку $\angle BAM = \angle BAC$ и $\angle BCM = \angle BCA$, а $\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 2 \cdot \angle ABM$, мы можем переписать уравнение суммы углов как:$\angle BAC + 2 \cdot \angle ABM + \angle BCA = 180^\circ$.

Так как по условию $\angle BAC = \angle BCA$, получаем:$2 \cdot \angle BAC + 2 \cdot \angle ABM = 180^\circ$.

Разделив обе части уравнения на 2, получим:$\angle BAC + \angle ABM = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Сумма его углов равна $180^\circ$:$\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ$.

Подставим в это равенство найденное соотношение $\angle BAM + \angle ABM = 90^\circ$ (так как $\angle BAM = \angle BAC$):$90^\circ + \angle AMB = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Это означает, что прямая a, которая содержит отрезок $BM$, перпендикулярна прямой c, которая содержит отрезок $AC$. Таким образом, $a \perp c$.

2. Докажем, что прямая b перпендикулярна прямой c.

Рассмотрим треугольники $\triangle DKE$ и $\triangle FKE$.Из условия задачи нам известно, что $DE = EF$ и $DK = FK$. Сторона $EK$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle DKE \cong \triangle FKE$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности: $\angle DKE = \angle FKE$.

Углы $\angle DKE$ и $\angle FKE$ являются смежными, так как точки D, K, F лежат на одной прямой b. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:$\angle DKE + \angle FKE = 180^\circ$.

Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.Следовательно, $\angle DKE = 90^\circ$.

Это означает, что прямая c, которая содержит отрезок $EK$, перпендикулярна прямой b, которая содержит отрезок $DF$. Таким образом, $b \perp c$.

3. Вывод.

Мы доказали, что $a \perp c$ и $b \perp c$.Согласно свойству: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.

Следовательно, $a \parallel b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $a$ и $b$ параллельны.