Номер 86, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AC = A_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $AB = A_1B_1$.

86. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AC = A_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $AB = A_1B_1$.

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, воспользуемся данными из условия задачи.

1. Рассмотрим треугольники $ADC$ и $A_1D_1C_1$.

По условию нам известно, что:

• $AC = A_1C_1$
• $CD = C_1D_1$
• $AD = A_1D_1$

Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то $\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1$ (по третьему признаку равенства треугольников, SSS).

2. Из равенства треугольников $ADC$ и $A_1D_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle DAC$, лежащий напротив стороны $CD$, равен углу $\angle D_1A_1C_1$, лежащему напротив равной ей стороны $C_1D_1$.

Таким образом, $\angle DAC = \angle D_1A_1C_1$.

3. Так как точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $D_1$ – на стороне $A_1B_1$, то угол $\angle DAC$ является тем же углом, что и $\angle BAC$, а угол $\angle D_1A_1C_1$ – тем же углом, что и $\angle B_1A_1C_1$.

Следовательно, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

4. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

У них:

• $AB = A_1B_1$ (по условию)
• $AC = A_1C_1$ (по условию)
• $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (как доказано выше)

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано.