Номер 80, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. На рисунке 166 $∠1 = ∠2$. Докажите, что $DE = EF$.

Рис. 166

80. На рисунке 166 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $DE = EF$.

Рис. 166

Рассмотрим внутренние углы треугольника $△DEF$, а именно $∠EDF$ и $∠EFD$.

Угол $∠1$ и угол $∠EDF$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол (180°). По свойству смежных углов:

$∠EDF = 180° - ∠1$

Аналогично, угол $∠2$ и угол $∠EFD$ также являются смежными. Следовательно:

$∠EFD = 180° - ∠2$

По условию задачи нам дано, что $∠1 = ∠2$.

Если равны правые части выражений ($∠1$ и $∠2$), то должны быть равны и левые. Подставив $∠1 = ∠2$ в наши выражения для внутренних углов, получаем:

$180° - ∠1 = 180° - ∠2$

Из этого следует, что внутренние углы треугольника при основании $DF$ равны:

$∠EDF = ∠EFD$

В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. В $△DEF$ сторона $EF$ лежит напротив угла $∠EDF$, а сторона $DE$ лежит напротив угла $∠EFD$.

Так как углы $∠EDF$ и $∠EFD$ равны, то и противолежащие им стороны равны:

$DE = EF$

Это означает, что треугольник $DEF$ является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Внутренние углы треугольника $∠EDF$ и $∠EFD$ являются смежными с равными по условию углами $∠1$ и $∠2$ соответственно. Следовательно, $∠EDF = 180° - ∠1$ и $∠EFD = 180° - ∠2$, из чего следует, что $∠EDF = ∠EFD$. По признаку равнобедренного треугольника, если углы при основании равны, то и боковые стороны равны, то есть $DE = EF$.