Номер 77, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Серединный перпендикуляр стороны $ME$ равнобедренного треугольника $KME$ ($KM = ME$) пересекает сторону $KM$ в точке $N$. Найдите сторону $KE$, если $ME = 24$ см, а периметр треугольника $KNE$ равен 36 см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $ME$ равнобедренного треугольника $KME$ ($KM = ME$) пересекает сторону $KM$ в точке $N$. Найдите сторону $KE$, если $ME = 24$ см, а периметр треугольника $KNE$ равен 36 см.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $KME$, в котором боковые стороны равны: $KM = ME$. Известно, что $ME = 24$ см, следовательно, сторона $KM$ также равна 24 см.

Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к стороне $ME$. Точка $N$ — это точка пересечения этого перпендикуляра со стороной $KM$.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Поскольку точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $ME$, то расстояния от точки $N$ до вершин $M$ и $E$ равны. Таким образом, получаем равенство: $NE = NM$.

Периметр треугольника $KNE$ ($P_{KNE}$) равен сумме длин его сторон: $P_{KNE} = KN + NE + KE$.

По условию $P_{KNE} = 36$ см. Значит: $KN + NE + KE = 36$.

Используя выведенное ранее равенство $NE = NM$, заменим в формуле периметра $NE$ на $NM$: $KN + NM + KE = 36$.

Поскольку точка $N$ лежит на стороне $KM$, то сумма длин отрезков $KN$ и $NM$ равна длине всей стороны $KM$: $KN + NM = KM$.

Подставим это соотношение в уравнение для периметра: $KM + KE = 36$.

Мы знаем, что $KM = 24$ см. Подставим это значение в уравнение и найдем длину стороны $KE$: $24 + KE = 36$. $KE = 36 - 24$. $KE = 12$ см.

Ответ: 12 см.