Номер 76, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) провели биссектрису $BD$, длина которой равна 17 см. Найдите периметр треугольника $ABD$, если периметр треугольника $ABC$ равен 68 см.

76. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ провели биссектрису $BD$, длина которой равна 17 см. Найдите периметр треугольника $ABD$, если периметр треугольника $ABC$ равен 68 см.

По условию, нам дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. Периметр этого треугольника, $P_{ABC}$, составляет 68 см.

Периметр треугольника $ABC$ — это сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$. Так как $AB = BC$, мы можем переписать эту формулу следующим образом: $P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$. Подставив известное значение периметра, получаем уравнение: $2 \cdot AB + AC = 68$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины угла между равными сторонами (в нашем случае это биссектриса $BD$ из вершины $B$), является также его медианой и высотой.

Поскольку $BD$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам в точке $D$. Это означает, что $AD = DC$, и, следовательно, длина всего основания $AC$ в два раза больше длины отрезка $AD$: $AC = 2 \cdot AD$.

Теперь мы можем подставить это выражение для $AC$ в уравнение периметра треугольника $ABC$: $2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 68$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2 \cdot (AB + AD) = 68$.

Разделив обе части уравнения на 2, мы найдем сумму длин сторон $AB$ и $AD$: $AB + AD = \frac{68}{2} = 34$ см.

Далее найдем периметр треугольника $ABD$, который обозначается как $P_{ABD}$. Он равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$.

Мы уже вычислили, что сумма $AB + AD = 34$ см. Длина биссектрисы $BD$ дана в условии и равна 17 см. Подставляем эти значения в формулу для $P_{ABD}$: $P_{ABD} = 34 + 17 = 51$ см.

Ответ: 51 см.