Номер 79, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведённой к основанию.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведённой к основанию.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.По определению равнобедренного треугольника, боковые стороны равны: $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$.

Пусть $BM$ – медиана, проведённая к основанию $AC$ в $\triangle ABC$, а $B_1M_1$ – медиана, проведённая к основанию $A_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

По условию задачи известно, что:

• основания треугольников равны: $AC = A_1C_1$;
• медианы, проведённые к основаниям, также равны: $BM = B_1M_1$.

Требуется доказать, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $BM$ является медианой, проведённой к основанию $AC$, то точка $M$ – середина отрезка $AC$. Следовательно, $AM = MC = \frac{1}{2}AC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Значит, $BM \perp AC$, и треугольник $\triangle ABM$ является прямоугольным ($\angle BMA = 90^\circ$).

2. Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Так как $B_1M_1$ является медианой к основанию $A_1C_1$, то $A_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. Медиана $B_1M_1$ также является высотой, поэтому $B_1M_1 \perp A_1C_1$, и треугольник $\triangle A_1B_1M_1$ является прямоугольным ($\angle B_1M_1A_1 = 90^\circ$).

3. Сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. У них:

• Катет $BM = B_1M_1$ (по условию задачи).
• Катет $AM = A_1M_1$, так как $AC = A_1C_1$ (по условию), а $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ равны по двум катетам.

4. Из равенства треугольников $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон и углов:

• $AB = A_1B_1$ (как гипотенузы).
• $\angle A = \angle A_1$ (как соответствующие углы).

5. Теперь сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $AB = A_1B_1$ (доказано выше).
• $AC = A_1C_1$ (дано по условию).
• $\angle A = \angle A_1$ (доказано выше).

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство равнобедренных треугольников по основанию и медиане, проведённой к основанию, доказано.