Номер 81, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. На биссектрисе $DB$ равнобедренного треугольника $DEF$ с основанием $EF$ отметили точку $A$. Докажите, что треугольник $AEF$ равнобедренный.

81. На биссектрисе $DB$ равнобедренного треугольника $DEF$ с основанием $EF$ отметили точку $A$. Докажите, что треугольник $AEF$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle ADF$.

По условию задачи, треугольник $DEF$ является равнобедренным с основанием $EF$. Из этого следует, что его боковые стороны равны: $DE = DF$.

Отрезок $DB$ является биссектрисой угла $\angle EDF$, а точка $A$ лежит на этом отрезке. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла: $\angle EDA = \angle FDA$.

Сторона $DA$ является общей для треугольников $\triangle ADE$ и $\triangle ADF$.

Таким образом, мы можем сравнить треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle ADF$. В них:

• $DE = DF$ (по свойству равнобедренного треугольника).
• $\angle EDA = \angle FDA$ (так как $DA$ — часть биссектрисы).
• $DA$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ADE = \triangle ADF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из того, что треугольники равны, следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AE$ в треугольнике $\triangle ADE$ соответствует стороне $AF$ в треугольнике $\triangle ADF$. Значит, $AE = AF$.

Поскольку в треугольнике $AEF$ две стороны ($AE$ и $AF$) равны, он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник AEF является равнобедренным, так как доказано равенство его сторон AE и AF.