Номер 87, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. На рисунке 169 $MP = PE$, $MF = FE$. Докажите, что $\angle MKP = \angle EKP$.

Рис. 169

87. На рисунке 169 $MP = PE$, $MF = FE$. Докажите, что $\angle MKP = \angle EKP$.

Рис. 169

Для доказательства равенства углов $\angle MKP$ и $\angle EKP$, мы последовательно докажем равенство двух пар треугольников.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle MPF$ и $\triangle EPF$.
Согласно условию задачи, у нас есть следующие равенства сторон:

• $MP = PE$
• $MF = FE$

Сторона $PF$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $\triangle MPF$ и $\triangle EPF$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). $ \triangle MPF \cong \triangle EPF $ (по SSS).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют углы при вершине P: $ \angle MPF = \angle EPF $.

Далее, рассмотрим треугольники $\triangle MKP$ и $\triangle EKP$.
Из рисунка видно, что точки P, F и K лежат на одной прямой, поэтому $\angle MPK$ это тот же угол, что и $\angle MPF$, а $\angle EPK$ — тот же, что и $\angle EPF$. Следовательно, $\angle MPK = \angle EPK$.

Теперь мы можем сравнить элементы треугольников $\triangle MKP$ и $\triangle EKP$:

• $MP = PE$ (по условию).
• $\angle MPK = \angle EPK$ (как доказано выше).
• $PK$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $\triangle MKP$ и $\triangle EKP$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). $ \triangle MKP \cong \triangle EKP $ (по SAS).

Из равенства треугольников $\triangle MKP$ и $\triangle EKP$ следует равенство всех их соответствующих элементов. Углы $\angle MKP$ и $\angle EKP$ являются соответствующими в этих равных треугольниках.

Таким образом, $\angle MKP = \angle EKP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle MKP = \angle EKP$ доказано.