Номер 82, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На высоте $CH$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Докажите, что если $\angle AKH = \angle BKH$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

82. На высоте $CH$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Докажите, что если $\angle AKH = \angle BKH$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

По условию, $CH$ является высотой треугольника $ \triangle ABC $, проведенной к стороне $AB$. Это означает, что $ CH \perp AB $, и, следовательно, $ \angle CHA = \angle CHB = 90^\circ $.

Поскольку точка $K$ лежит на высоте $CH$, то отрезок $KH$ также перпендикулярен $AB$. Таким образом, треугольники $ \triangle AKH $ и $ \triangle BKH $ являются прямоугольными с прямыми углами $ \angle KHA $ и $ \angle KHB $ соответственно.

Рассмотрим сумму углов в этих прямоугольных треугольниках. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Для $ \triangle AKH $: $ \angle KAH + \angle AKH + \angle KHA = 180^\circ $.
Так как $ \angle KHA = 90^\circ $, то $ \angle KAH = 180^\circ - 90^\circ - \angle AKH = 90^\circ - \angle AKH $.

Для $ \triangle BKH $: $ \angle KBH + \angle BKH + \angle KHB = 180^\circ $.
Так как $ \angle KHB = 90^\circ $, то $ \angle KBH = 180^\circ - 90^\circ - \angle BKH = 90^\circ - \angle BKH $.

В условии задачи дано, что $ \angle AKH = \angle BKH $.

Сравнивая выражения для углов $ \angle KAH $ и $ \angle KBH $, получаем:
$ \angle KAH = 90^\circ - \angle AKH $
$ \angle KBH = 90^\circ - \angle BKH $
Поскольку правые части этих равенств равны (так как $ \angle AKH = \angle BKH $), то равны и левые: $ \angle KAH = \angle KBH $.

Углы $ \angle KAH $ и $ \angle KBH $ являются углами при основании $AB$ треугольника $ \triangle ABC $, то есть $ \angle CAB = \angle KAH $ и $ \angle CBA = \angle KBH $. Следовательно, $ \angle CAB = \angle CBA $.

По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Так как в $ \triangle ABC $ углы при основании равны, то стороны, лежащие напротив этих углов, также равны: $AC = BC$.

Таким образом, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.