Номер 88, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. На рисунке 170 $AB = CD$, $AM = CK$, $BK = DM$. Найдите $BC$, если $AD = 6$ см.

Рис. 170

88. На рисунке 170 $AB = CD$, $AM = CK$, $BK = DM$. Найдите $BC$, если $AD = 6$ см.

Рис. 170

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Точки $M$ и $K$ лежат на его диагонали $AC$.

1. Докажем, что $AK = CM$.

Точки $A$, $M$, $K$, $C$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $AC$ может быть выражена как $AC = AK + KC$ или $AC = AM + MC$.

Из первого равенства выразим $AK$: $AK = AC - KC$.

Из второго равенства выразим $CM$: $CM = AC - AM$.

По условию задачи дано, что $AM = CK$. Заменим в выражении для $CM$ отрезок $AM$ на равный ему $CK$: $CM = AC - CK$.

Теперь мы видим, что правые части выражений для $AK$ и $CM$ равны: $AC - KC = AC - CK$. Следовательно, равны и левые части: $AK = CM$.

2. Докажем, что $\triangle ABK \cong \triangle CDM$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $CDM$. Сравним их стороны:

• $AB = CD$ (по условию).
• $BK = DM$ (по условию).
• $AK = CM$ (как доказано в пункте 1).

Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (SSS).

3. Докажем, что $ABCD$ — параллелограмм.

Из равенства треугольников $\triangle ABK \cong \triangle CDM$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAK = \angle DCM$.

Углы $\angle BAK$ и $\angle DCM$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны: $AB \parallel DC$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ две противоположные стороны $AB$ и $DC$ равны ($AB = CD$) и параллельны ($AB \parallel DC$). По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

4. Найдем длину стороны $BC$.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $BC = AD$.

По условию задачи, $AD = 6$ см.

Значит, $BC = 6$ см.

Ответ: $BC = 6$ см.